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Spreading process with different recurrent mobility network
- D. Soriano-Paños, L. Lotero, A. Arenas, and J. Gómez-Gardeñes
COVID-19 in relation to mobility restrictions and confinement
- The key parameter to track the progression of the epidemics is the effective reproduction number $\mathcal{R}$. Here, we find an analytical expression for $\mathcal{R}$ as a function of mobility restrictions and confinement measures. This expression for R is an extremely useful tool to design containment policies that are able to suppress the epidemics. We applied our epidemic model for the case of Spain, successfully forecasting both the observed incidence in each region and the overload of the health system. The expression for R allowed us to determine the precise reduction of mobility $\kappa_0$ needed to bend the curve of epidemic incidence, which turned out to be $\kappa_0 \sim 0.7$. This value, for the case of Spain, translates to a total lockdown with the exception of the mobility associated to essential services, a policy that was finally enforced on March 28.
- Introduction:
- 过去的2019年12月31日，中国湖北报告了一起新型冠状病毒疫情，命名为SARS-CoV-2，并负责引起COVID-19疾病。截至2020年3月30日，已有超过178个国家/地区报告了病例，社区传播的? 这些地区内的病毒正在不断地增长。目前的大流行很可能是一个 我们相互关联的现代社会将面临的最严重的挑战之一，并需要为 采取先发制人的协调行动，在全球范围内减缓传播速度。这些措施应 给予各国宝贵的时间，使其卫生保健系统做好准备，以便能够承受 COVID-19的影响。
- 从区域到整个国家对人口进行禁闭，仍然是最好的非药物干预措施，一旦失去了个别病例的可追踪性—-只有在大规模测试下才可行—-。然而，这些措施的成功在很大程度上取决于实施这些措施的确切时间、限制流动的程度以及禁闭的总时间。通常，有关这些措施的决定是以报告的病例数作为当前疾病传播状况的代表。然而，在许多流行病中，特别是在COVID-19的情况下，由于缺乏广泛的检测，以及无症状感染的数量阻碍了对继发病例的追踪，这种信息是对人口中实际流行情况的低估。最近，我们观察到一些国家，如西班牙或意大利，如何未能及时实施适当的措施来阻止疾病的发展。我们的模型表明，这是由于所实施的减少流动性措施不足以弯曲COVID-19的发病率曲线。根据最好的估计，3月14日在西班牙实施的禁闭措施在第一周内只实现了$ 60\pm 5\%$的流动性减少，根据我们的模型，这个数量不足以使系统低于目标$\mathcal{R}<1$。
- 这个例子说明了对遏制措施进行准确的早期评估的艰巨任务。据观察，由于限制人口的流动性减少，对减少疫情有高度非线性的影响。这使得政策制定者的任务难上加难，因为他们需要设计切实可行的禁锢措施，在尽可能短的时间内充分降低疫情的影响。如果计划中的干预措施太弱，疫情就不会停止，医疗系统的激增能力就会被超越，使许多人需要住院治疗。他们得不到所需的关注。而且，一旦决策者意识到所采取的干预措施不足，疫情可能已经蔓延到一定程度，只有最严厉的干预措施才会有真正的作用。另一方面，从早期阶段开始实施非常严格的限制措施，将给政府提供急需的时间来准备应对疾病的侵袭，但很可能会给经济带来巨大的损失，从而给人口带来巨大的损失。
- 在干预措施中找到正确的平衡点是一项艰巨但又必不可少的任务，以便成功地抵御这次和今后任何其他流行病造成的风暴。要想在这项工作中取得成功，预测任何设想的行动的影响是至关重要的。我们需要知道减少流动性和禁闭措施之间的确切关系，以及它对流行病的$\mathcal{R}$的0影响，因为这将使政策制定者能够实施恰到好处的流动性限制，以最大限度地减少流行病的影响。
- 在本文中，我们旨在解决这个问题。我们解析了COVID-19的$\mathcal{R}$的演变，在一个人口异质结构的人口中，与流动模式和被限制家庭的渗透性有关。我们推导出一个数学表达式，使我们能够预测流动限制和禁闭对COVID-19在任何特定区域传播的有效繁殖数的影响。R对平均移动性的依赖性是非线性的，在R=1时呈现一个突然的过渡。这种转变将流动限制平稳地减缓案例数量的制度–即所谓的曲线平坦化的效果–与这些限制急剧减速的制度分离开来的数量–我们将其称为弯曲曲线–。这两种情况的结果差异是非常明显的。首先，曲线弯曲策略引发了一个大大降低了感染速度，达到了比扁平化策略更低的攻击率。其次，在弯曲策略下，行动限制和禁锢措施有 要执行的时间较短。这使得弯曲策略成为最合适的 处理禁闭措施的方式。然而，问题是，鉴于有了这样的措施。互联的、结构化的人口，需要减少多少流动人口，才能推动。疫进入弯曲体制。前述分析关系中R 和流动性限制恰恰使我们能够回答这个问题，对于任何地区来说，根据 有人口和流动数据的COVID-19攻击事件；
- 结果
- 为了明确地将减少流动性和禁闭措施与流行病的生殖比R联系起来，我们首先开发了一个数学模型，按照以前的方法5-11，预测COVID-19在整个领土上的流行病流行率。我们开发了一个年龄分层的元种群分区模型，该模型概括了COVID-19传播的特殊性，涉及(i)其在个人之间的传播，(ii)某些人口群体对COVID-19影响的特殊性，以及(iii)区域内和区域间的人口流动模式。疫情的全部动态。是以微观马尔科夫链方法（MMCA）12-14的形式化。我们将其称为 “微观马尔科夫链方法”。读者可参阅《方法》一节，了解模型的完整描述，并参阅《补充资料》。注1为马尔科夫方程的完整分析。该模型已被用于 评估西班牙全面封锁的必要性，最终于15年3月30日实施，因为它允许直接评估行动限制和禁闭政策；
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有效繁殖数R(t)的定义是：一个个体在时间t成为传染病人，在一段时间内会产生多少个继发病例。为了实现这个数量的计算，并理解其依赖性，我们提出了一个从最粗略的近似到最精确的公式的递增原理。首先，让我们考虑一个场景（在物理学中称为平均场），在这个场景中，一个被感染的主体$i$在每个时间步骤中进行$\langle k\rangle$次接触。假设感染概率为$\beta$，预期在每个时间步被i感染的个体数为$\beta\langle k\rangle \rho_S$，其中$\rho_S$是群体中易感个体的部分。我们可以估计在一段时间内被$i$感染的感染者个体数量为：
$$ \mathcal{R} = \tau \beta \langle k\rangle \rho_S $$这种平均场方法，揭示了$\mathcal{R}$对疫情传播变量的主要依赖性。然而，这种近似方法忽略了个体和年龄层的流动性，以及变量的时间演变。通过利用当前流行病模型的信息，可以在很大程度上改善这种情况。
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让我们定义$\mathcal{R}_i^g$，人群$i$中年龄段为$g$的基本复制率，它可以在数学上表达为
$$ \mathcal{R}_{i}^{g}=\tau^{g}\left\langle\beta^{g}\right\rangle \sum_{j=1}^{N_{P}} \sum_{h=1}^{N_{G}} k_{i j}^{g h} \tilde{\rho}_{j}^{S, h} $$这个表达式里面，$\tau$是感染期时长，$\beta$是感染概率，$k$是接触数，$\rho$是健康的人的比例。
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最后，作者提出一个包含$\mathcal{R}$的变量随时间变换的、解释$\mathcal{R}$演变的公式。有两个量随时间是变化的：平均接触数$ k_{ij}^{gh}$ 和健康人数$\tilde{\rho_j}^{S,h}$. 进一步，我们还需要考虑到感染者在进化过程中，在流行病模型的传染区间和传染区外的转换。综合这些因素，我们得到：
$$ \mathcal{R}_{i}^{g}(t)=\sum_{s=t}^{\infty}\left(\zeta^{A, g}(s-t) \beta_{A}+\zeta^{I, g}(s-t) \nu \beta_{I}\right) \sum_{j=1}^{N_{P}} \sum_{h=1}^{N_{G}} k_{i j}^{g h}(s) \tilde{\rho}_{j}^{S, h}(s) $$函数$\zeta^{A,g}$和$\zeta^{I,g}$分别代表无症状传染性的个体，在$t$时间后继续是无症状传染性和感染状态的概率。作者假设两类人的传播概率是不一样的 $\beta_A$和$\beta_I$, 并且加上了一个因子$\nu$来代表自我隔离的人的比例。
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一旦计算出每个斑块的有效繁殖数，$R(t)$的值是所有值$R^g_i(t)$的加权平均值，考虑到总种群$N$在各斑块和年龄组的分布，$n^g_i$ ，有效繁殖数R(t)演化的最终分析表达式为
$$ \mathcal{R}(t)=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N_{P}} \sum_{g=1}^{N_{G}} n_{i}^{g} \mathcal{R}_{i}^{g}(t). $$这个表达式与我们研究的主要结果相对应。它可以评估在整个流行病期间有效繁殖数的变化，同时考虑到疾病的流行病学特征以及受影响人口的社会、人口和流动模式。
- 正是由于在R(t)的表达式中包含了社会、人口和流动数据，才使这一表达式成为评价和预测限制措施和减少流动的影响的基本工具。在这个模型中，限制措施是根据Maier等人17的精神实施的，在给定的时间t，限制措施将人口的一部分限制在0的范围内。此外，被限制的人口从易感个体池中减去，但相应地修正了家庭的渗透性（理解为家庭成员为购买必需品而跳过限制的概率）。在拟议的流行病模型的动态方程中包括这些遏制措施是很直接的。
- 我们首先表明，我们的模型能够捕捉到实施禁闭的效果。使用西班牙的人口和流动数据来衡量（见方法一节）。一旦初始化 感染性种子与截至3月的首批报告病例的方程。3，我们让模型在自由流动制度下演化，直到3月14日，当第一次流动性 在西班牙，限制措施开始发挥作用，因此，在模型中实施了禁闭。图1比较了该模型对每日发生率的预测，以及西班牙人的数量。需要重症监护室援助的病例，西班牙报告了官方数据。卫生部。在那里，我们可以清楚地看到，这种模式，不仅在质上，而且在量上。再现了限制人的流动和提升社交距离阻碍COVID-19的传播。在补充图2中，我们还显示了相同的? 西班牙自治区一级每日报告的病例比较。
- 只要验证了这个模型，我们就可以研究如何实施流动性限制和社会疏远。可以极大地改变流行病的进程。在图2的左图中，我们显示了在不同的监禁等级$\kappa_0$下，每天新增的病例数。$\kappa_0$是根据官方数据评估的公共交通的使用情况，汽车进出城市情况，通过手机跟踪的行人流估计得到的。小区封闭的时间$t_c$对应于3月14日。据观察，由于对一小部分人实施了禁闭，也就是人口的比例（$\kappa_0>0$），因此在这一过程中会出现以下情况：每天新增病例数的曲线开始变宽。并在时间上最大限度地向前移动。这种缓解策略被称为 “平坦化”。曲线，其中围挡延迟并降低了入射峰值。曲线的后果是扁平化的情况是，对卫生系统的影响得到了改善，但代价是牺牲了卫生系统。较大的流行期。然而，随着密闭度的增加($\kappa_0$越高)，在0.6到0.8之间的流行曲线行为发生了巨大的变化。特别是，对于足够大的$\kappa_0$值，疫情曲线在隔离后很快达到最大值的地方，实现了一种全新的局面，即所谓的 “弯曲曲线”，在这种情况下，流行率会有很大的提高。稳步下降，流行波缩短。两种制度的区别在于条件$R(t_c)$的临界值转化为一个$\kappa_0^c$的临界值。
- 这两种制度由$R(t_c)=1$的条件分开。图2右图中的白色实线表示两种制度之间的过渡，它显示了有效繁殖数$R(t_c)$作为封闭程度$\kappa_0$和家庭渗透率$\phi$的函数， 。家庭的通透性越大，即禁锢越软，为了使曲线弯曲，需要禁锢的人口比例越高。
- 为了说明实施禁闭所引起的$R(t)$的突然变化。触发亚临界制度$\kappa_0>\kappa_c$, 在图3中，我们显示了$R(t)$在 在2020年3月14日适用禁闭时，西班牙的情况。此外，我们还提出了 每个城市的成年的有效繁殖数($g=M$)的演变情况。西班牙，显示它们达到$R^M_i (t)=1$，在不同阶段。这揭示了在不同阶段，决定放宽遏制措施必须考虑到整个市镇的情况，而不应该在市镇的范围内。完全基于国家的有效生育数量。特别是，放宽了这一标准。在每个人口组团$i$内的每个年龄组g之前的禁闭，满足条件$R^g_i < 1$可能导致那些最脆弱地区的二次爆发。为了进一步说明这一点 现象，我们在图3中显示了有效繁殖数的空间分布。成年人口中的$R^M_i$在全国各地实施禁闭前后。也是补充图3中$R_i^g$的分布情况。
- 结论
- 随着COVID-19大流行病影响到越来越多的国家，并威胁到美国政府的负担。卫生系统的关键能力，SARS-CoV-2疫苗的缺失需要强有力的非药物治疗。政府采取的遏制措施。在这些措施中，限制 许多国家都实施了流动和社会疏远的政策，以图在社会上形成一个良好的环境。减少对卫生系统的影响，并节省尝试更有效的治疗方法所需的时间。应对这种新出现的病原体。然而，这些措施在西班牙并没有达到削减病原体的目的。COVID-19的进展，由于隐蔽感染，其特点是无声无息、快速发展。传播到发现病例多的地区以外。
- 为了制定抗击SARS-CoV-2的战略并预测其发展轨迹，除了正确模拟其流行病学特征外，还必须尽可能地考虑到其传播所使用的社会接触的流动性的影响。在此，我们已经表明，可以构建有效繁殖数R(t)的表达式，既能捕捉到COVID-19的流行病学特征，又能捕捉到促进其扩展的社会模式。这种表达式可以准确评估SARS-CoV-2在特定人群中的传播潜力，而且，还可以评估非药物干预措施。
- 针对目前在西班牙爆发的疫情，我们分析了。流动性限制用$R(t)$的表达，在时间$t_c$时评估，遏制的使用的不同程度的影响。这样一来，我们就可以准确地判断出对社会停摆和不同密闭程度引起的疫情抑制程度。计算值$R(t_c)$我们观察到一个相变，因为被限制的居民的集合和随之而来的社会距离 增加。这个过渡定义了一个临界限制，$t_{c_0}$，将$R(t_c)>1$的超临界情况与另一个亚临界情况分开，导致曲线变平。$R(t_c)<1$，在这种情况下，社会结构的变化是如此深刻，以至于弯曲流行。曲线使病毒无法传播。
- 将超临界和亚临界制度分开的确切临界限制是非常重要的。取决于基本的社会结构和每个人口的内在流动模式。此外，它还取决于实施的时间，因为它取决于可利用的人口库。可从系统中剔除的易感剂。表达式$R(t)$的通用性。在这里提供的，使其可以应用于任何人群，为实现以下目标铺平了道路 及时和有充分依据的流行病学和社会学非药物对策；